¿Qué significa decir que Newton descubrió la gravedad?

He de haber tenido unos diez u once años, no recuerdo bien, cuando la maestra me dijo que un tipo de nombre Newton había descubierto la gravedad. Según la leyenda, este personaje de un tiempo y una isla muy lejanos estaba tomando una siesta bajo un manzano, cuando de repente su tranquilidad se vio interrumpida por la agresión de una manzana que se había dejado caer desde lo alto. La leyenda también cuenta que, después de que Newton trituró la manzana en venganza, se puso a reflexionar sobre la causa que había hecho que esa fruta cayera al suelo y decidió llamarla gravedad. Así, me dijeron, fue como Newton descubrió la gravedad. En seguida pensé que la gente del pasado era seguramente más mensa que la actual, puesto que me parecía ridículo que nadie se hubiese dado cuenta antes de que todas las cosas que se sueltan caen al suelo.
 

    Me tomó algún tiempo descubrir que el cuento de Newton y la agresiva manzana es completamente falso, todo parece indicar que lo inventó un enciclopedista en el siglo XVIII. Sí, sé que es deprimente saber eso, pero antes de que decidamos cortarnos las venas ante la tristeza les recomiendo tomarse un tiempo conmigo para comprender de una manera un poco más acertada lo que significa decir que Newton descubrió la gravedad. En la adolescencia me di cuenta que la gente del pasado fue igual de babosa que nosotros. Por lo que asumí que Newton en realidad había descubierto que los cuerpos caen a la tierra con una aceleración constante de 9.8 metros por cada segundo al cuadrado que pasa ¡Grato error! Mi hipótesis fue aniquilada cuando me enteré que el que había dicho tal cosa no fue Newton sino Galileo Galilei, quien fue también la primera persona en mirar a las estrellas con un telescopio.
 

    De hecho, Galileo es muy importante para entender el descubrimiento de Newton. Unos 60 años antes de que Newton publicara su trabajo más famoso, Galileo había contribuido junto a Johannes Kepler a derrumbar los modelos del Sistema Solar que desde los tiempos de Aristóteles habían colocado a la tierra en el centro del universo. La historia de cómo esto sucedió es fascinante, pero lo que nos interesa saber aquí es que Kepler había descubierto hacia 1620 que existía una relación entre el tiempo que tarda un planeta en dar la vuelta al Sol y su distancia promedio esa misma estrella. Dicho en el idioma algebraico,

Imagen 1. Origen de la constante K en la Tercera Ley de Kepler.

    Es decir, hay una relación invariable entre el tiempo que tarda un planeta en girar alrededor de su estrella y la distancia promedio a la que se encuentra de ella. Podemos llamar “K” a esta constante en honor a Kepler. 

Imagen 2. Tercera Ley de Kepler.

    Por los mismos años, Galileo también descubrió que los cuerpos se mueven en líneas rectas a menos de que alguna otra cosa altere su dirección. Es difícil contextualizar la magnitud de este descubrimiento, hasta ese entonces se había supuesto que los planetas se movían en círculos porque los círculos eran algo así como una figura perfecta, y resultaba “natural” que los cuerpos se moviesen siguiendo formas perfectas. Por eso el descubrimiento de Galileo de que los cuerpos se mueven en líneas rectas fue tan trascendental, por primera vez en la historia las personas que reflexionaban sobre estos asuntos podían hacerse la pregunta correcta ¿Por qué los planetas no se mueven en línea recta? ¿Qué fuerza hace que su trayectoria rectilínea se curve?

    El primer científico que pudo responder a esta pregunta de una manera aceptable fue Christian Huygens, y lo hizo de una forma muy ingeniosa. Contemporáneo de Newton, Huygens sabía, gracias a Kepler, que los planetas se mueven en elipses (y no en círculos) alrededor del Sol. Ahora bien, sí se preguntan que es una elipse les conviene ver la figura de abajo. También les gustará saber que nadie tiene del todo claro sí una elipse es un círculo achatado, o sí más bien los círculos son elipses de un tipo especial; pero ponernos a deliberar sobre esto sería como discutir sí un vaso está medio lleno o medio vacío.  

Imagen 3. ¿Qué es una elipse?

    Lo que hay que tener muy claro es que los círculos y las elipses están estrechamente relacionados, y por eso en ocasiones (dependiendo de qué tan precisos queramos ser con nuestras explicaciones) es posible tratar a las elipses como si fueran círculos. Esa es la razón por la cual oímos decir que la Tierra está a 150 millones de kilómetros del Sol, aunque en realidad la distancia entre ambos varía según la época del año. Para simplificar, de aquí en adelante haremos de cuenta que los planetas se mueven en círculos alrededor de las estrellas. Al final, nuestra comprensión general de lo que dijo Newton sobre la gravedad será bastante acertada y hará mucho más sencillas las explicaciones.

    Huygens se puso a pensar en qué pasaría si la Tierra en un momento dado se moviese en línea recta en vez de en línea curva. Al hacerlo, llegó a la conclusión de que el camino curvo de la Tierra podría interpretarse como si nuestro planeta estuviera cayendo hacía abajo después de haber sido aventada hacía el frente con fuerza. Es decir, se podría entender el movimiento de los planetas como si estos estuviesen cayendo indefinidamente hacía el Sol a una velocidad tal que no alcanzan a caer verdaderamente hacía él; pero tampoco tan rápido como para que se alejen de él y se pierdan en el espacio.

Imagen 4. Razonamiento de Huygens para entender la aceleración centrípeta.

    Usando un poco de trigonometría básica, Huygens conectó los puntos de la figura de arriba y encontró que la aceleración a la cual “cae” el planeta hacia el Sol se relaciona directamente con su velocidad y distancia respecto a su estrella. En la ecuación que aparece abajo expresamos esta distancia como el radio de un círculo, porque el radio es la distancia que separa a cualquier punto en la línea que forma un círculo con el centro de la figura (pero recordemos que un examen más preciso trataría con una elipse y no un círculo).

Imagen 5. Aceleración centrípeta de Huygens.

    Una vez que gigantes como Kepler, Galileo y Huygens habían preparado el terreno, todo estaba listo para que alguien con el genio de Newton se subiera a sus hombros y atara los cabos sueltos. Una de las grandes genialidades de Newton fue haber descrito la fuerza de gravedad como la interacción entre dos o más masas. Era claro que la intensidad de la fuerza guardaba alguna relación con la distancia, pues los objetos distantes no se atraen tan desesperadamente como los más cercanos. Además, interactuaba con ellos alguna cosa de origen desconocido que, hasta donde sabemos hoy en día, es igual en todo el universo. A esta última la denominó la Constante Gravitacional y la representó con una “G” en las ecuaciones. El británico relacionó todos estos elementos en una sola ecuación. Por fin existía una fórmula que describía como funcionaba la Fuerza de Gravedad.

Imagen 6. Descripción de Newton de la Fuerza de Gravedad en un sistema de dos masas.

    Posiblemente recuerden en algún momento haber estudiado la Segunda Ley de Newton, que básicamente nos dice que cualquier tipo de fuerza (no necesariamente la de gravedad) puede ser calculada mediante la multiplicación de una masa por una aceleración. Pues bien, si observamos nuevamente la ecuación de Huygens que tratamos más arriba, nos daremos cuenta que se trata de una aceleración. Este hecho nos permite relacionar la ecuación de Huygens y la Segunda Ley de Newton.
 

Imagen 7. Relación de la Segunda Ley de Newton con la aceleración centrípeta de Huygens.

    Vamos progresando y estamos a punto de hacer una síntesis impresionante. Hagamos la siguiente observación, sabemos que cualquier velocidad es la distancia que se recorre en algún tiempo dado. Como tal, se puede representar como la división de la distancia sobre el tiempo. Esto lo hacemos todos los días cuando decimos que la velocidad de un automóvil es de 40 Kilómetros por hora o 40Km/hr. En el caso de los planetas, podemos decir que la distancia que recorren en un año al girar alrededor de su estrella es igual al tamaño del círculo que forma su órbita. El tamaño de un círculo (también conocido como su perímetro) se calcula multiplicando el radio del círculo por el número π (3.1416) y por dos, es decir “2πr”. Así sabemos la distancia que recorre un planeta en un año, si dividimos este número entre el tiempo que le toma a un planeta recorrer toda esa distancia obtenemos una velocidad.
 

Imagen 8. Desglosando la ecuación obtenida en la Imagen 7. Expresa la fuerza requerida para mantener a un planeta en órbita al rededor del Sol.

    Parece que hemos estado moviendo números y letras en vano sin llegar a ningún lado ¡Pero es todo lo contrario! Miren lo que hemos obtenido, una ecuación que nos puede decir cuál es la fuerza con la que se necesita jalar a un planeta para mantenerlo en órbita alrededor de una estrella. Resulta muy fascinante haber descubierto algo así. Pero surge inmediatamente una duda ¿Qué tipo de fuerza será la que el Sol ejerce sobre los planetas para mantenerlos dando vueltas a su alrededor?
 

    Durante algún tiempo se había especulado que el Sol ejercía una fuerza magnética sobre los planetas del Sistema Solar. Por lo que se pensaba que el Sol era un imán gigante y los planetas pequeñitos pedazos de metal girando a su alrededor. La idea era razonable, después de todo se sabía que la fuerza magnética podía actuar a la distancia y que la Tierra tenía un campo magnético gracias al cual los marineros podían usar brújulas para encontrar el Norte en medio del mar. Pero Newton se preguntó si sería posible relacionar la ecuación de la imagen 8 con la ecuación que explicaba la fuerza gravitacional y que presentamos en la imagen 6. Esta duda lo llevó a igualar ambas ecuaciones, lo cual era posible gracias a que las dos lidiaban con una fuerza. Veamos lo que obtuvo,

Imagen 9. Relacionando la descripción de la Fuerza de Gravedad de Newton (derecha) con la descripción de la Fuerza necesaria para mantener a un planeta en órbita al rededor del Sol (izquierda)

     ¡Guau!

    Hemos obtenido un resultado asombroso. Tal vez no lo noten todavía porque está un poco oculto, pero analicemos con calma la última ecuación para ver que hemos obtenido. Sabemos que la “G” es una constante, lo que quiere decir que no importa en qué lugar del Universo estemos, su valor siempre será el mismo. “Π” es otra constante cuyo valor, 3.1416, nunca cambia. Nada hay que decir del 4, es un número fijo que siempre será un 4. Finalmente, “M” en esta ecuación significa la masa mayor en un sistema de dos masas. En el Sistema Solar la masa mayor “M” es nada más y nada menos que la masa de nuestro Sol y por lo tanto se mantendrá constante siempre y cuando estemos hablando del movimiento de los planetas de nuestro Sistema Solar. Esto quiere decir que toda la sección 4π/GM de nuestra ecuación se mantiene constante cuando estamos hablando de nuestro Sistema Solar ¿Han visto algo parecido en otro lado? ¿No les recuerda a la Tercera Ley de Kepler que tratamos en la imagen 2?

Imagen 10. Comparación de la ecuación que relaciona el periodo y la órbita de un planeta en términos de la Fuerza de Gravedad con la ecuación de la Tercera Ley de Kepler.

    ¡Oh sorpresa! Descubrimos que ambas ecuaciones son exactamente iguales porque en nuestro caso radio (r) no es más que otra manera de llamarle a una distancia (d). Así fue como Newton pudo comprobar matemáticamente que la Fuerza que mantenía a los planetas girando alrededor del Sol, aquella misma responsable de imprimirles una aceleración centrípeta, era nada más y nada menos que la Fuerza de Gravedad que hacía que en la Tierra las manzanas y cayeran ferozmente hacía el suelo al soltarse de su árbol ¡Y no tenía nada que ver con la fuerza magnética o alguna otra!
 

    Esto es lo que significa decir que Newton descubrió la gravedad. Es obvio que todas las personas anteriores a él sabían que “todo lo que sube tiene que volver a bajar”. Lo que era una novedad era que la misma fuerza que tiraba las cosas hacía abajo en la Tierra hacía que los planetas se movieran alrededor del Sol. Newton había logrado dar una descripción muy buena de la gravedad y al mismo tiempo había atado irremediablemente los fenómenos del mundo con los de los cielos. Pero aún nadie comprendía que causaba la gravedad y de donde salía la constante gravitacional “G”. Pasarían más de 200 años para que un joven físico llamado Albert Einstein nos ofreciera una explicación más profunda del fenómeno gravitacional; pero aun hoy, la causa y origen de la Fuerza de Gravedad continúa siendo uno de los mayores misterios de la naturaleza y un poderoso incentivo para continuarla investigando científicamente.